Формулы площади геометрических фигур

Содержание

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить площадь прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):


  • длины катетов a и b
  • длину гипотенузы с и длину любого из катетов (a или b)
  • длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
  • длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
  • длину гипотенузы с и один из острых углов (α или β)

Найти площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Катет a = Катет b = S =

Просто введите длины двух катетов, и получите ответ.

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны оба катета (a и b)?

S = ½ ⋅ a ⋅ b

Пример

К примеру найдём площадь прямоугольного треугольника у которого сторона a = 2 см, а сторона b = 4 см:

S = 2 ⋅ 4 / 2 = 8 / 2 = 4 см²

Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе

Гипотенуза c = Катет (a или b) = S =

Введите длины гипотенузы и одного из катетов, и получите ответ.

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны его гипотенуза (c) и один из катетов (a или b)?

S = ½ ⋅ a ⋅ √c² — a² = ½ ⋅ b ⋅ √c² — b²

Пример

К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого катет a = 2 см, а гипотенуза c = 5 см:

S = 2 ⋅ √5² — 2² / 2 = √25 — 4 ≈ 4.58 см²

Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему к нему острому углу

Катет (a или b) = Прилежащий угол (β или α) = ° S =

Введите длину одного из катетов и прилежащий к нему острый угол в градусах.

То есть к катету a прилежащий ∠β, а к катету b∠α

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

S = ½ ⋅ a² ⋅ tg(β) = ½ ⋅ b² ⋅ tg(α)

Пример

К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого катет a = 4 см, а прилежащий к нему ∠β = 45°:

S = ½ ⋅ 4² ⋅ tg(45) = ½ ⋅ 16 ⋅ 1 = 16 / 2 = 8 см²

Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и противолежащему к нему острому углу

Катет (a или b) = Противолежащий угол (α или β) = ° S =

Введите длину одного из катетов и противолежащий к нему острый угол в градусах.

То есть к катету a противолежащий ∠α, а к катету b∠β

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

S = ½ ⋅ a² ⋅ tg(90 — α) = ½ ⋅ b² ⋅ tg(90 — β)

Пример

К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого катет a = 4 см, а противолежащий к нему ∠α = 45°:

S = 4² / 2⋅ tg(45) = 16 / 2 ⋅ 1 = 8 см²

Пример

К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого гипотенуза c = 8 см, а ∠α = 45°:

S = ½ ⋅ 8² ⋅ sin(45) ⋅ cos(45) ≈ ½ ⋅ 64 ⋅ 0.7071067812 ⋅ 0.7071067812 ≈ 16 см²

Геометрия треугольника

Свойства геометрической фигуры изучались с древних времен: самая ранняя информация о треугольнике была найдена в египетских папирусах 4000-летней давности. Затем фигуру изучали в Древней Греции и наибольший вклад в геометрию треугольника внесли Евклид, Пифагор и Герон. Изучение треугольника никогда не прекращалось, и в 18-м веке Леонард Эйлер ввел понятие ортоцентра фигуры и окружности Эйлера. На рубеже 19 и 20 веков, когда казалось, что о треугольнике известно абсолютно все, Фрэнк Морли сформулировал теорему о трисектрисах угла, а Вацлав Серпинский предложил треугольник-фрактал.

Существует несколько видов плоских треугольников, знакомых нам со школьного курса геометрии:

  • остроугольный — все углы фигуры острые;
  • тупоугольный — у фигуры есть один тупой угол (больше 90 градусов);
  • прямоугольный — фигура содержит один прямой угол, равный 90 градусов;
  • равнобедренный — треугольник с двумя равными сторонами;
  • равносторонний — треугольник со всеми равными сторонами.
  • В реальной жизни встречаются все виды треугольников, и в некоторых случаях нам может потребоваться вычислить площадь геометрической фигуры.

Общая формула

S = 0,5 * a * b⋅sin(α) , где a, b — стороны, α — угол между ними.

S = 0,5 * a * h, где a — основание, h — высота.

S = (a * b * c) : (4 * R), где a, b, c — стороны, R — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны.

S = r * (a + b + c) : 2, где a, b, c — стороны, r — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что (a + b + c) : 2 — это способ поиска полупериметра. Тогда формулу можно записать следующим образом:

S = r * p, где p — полупериметр.

S = a2 : 2 * (sin(α)⋅sin(β)) : sin(180 — (α + β)), где a — сторона, α и β — прилежащие углы, γ — противолежащий угол.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника.

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

S = √ p * (p − a) * (p − b) * (p − c)​, где a, b, c — стороны, p — полупериметр, который можно найти по формуле: p = (a + b + c) : 2


Формулы площади треугольника

Пояснения к формулам: a, b, c — длины сторон треугольника, площадь которого мы хотим найти r — радиус вписанной в треугольник окружности R — радиус описанной вокруг треугольника окружности h — высота треугольника, опущенная на сторону p — полупериметр треугольника, 1/2 суммы его сторон (периметра) α — угол, противолежащий стороне a треугольника β — угол, противолежащий стороне b треугольника γ — угол, противолежащий стороне c треугольника hahb, h— высота треугольника, опущенная на сторону a, b, c

Обратите внимание, что приведенные обозначения соответствуют рисунку, который находится выше, чтобы при решении реальной задачи по геометрии Вам визуально было легче подставить в нужные места формулы правильные значения.

Площадь треугольника равна половине произведения высоты треугольника на длину стороны на которую эта высота опущена (Формула 1). Правильность этой формулы можно понять логически. Высота, опущенная на основание, разобьет произвольный треугольник на  два прямоугольных. Если достроить каждый из них до прямоугольника с размерами b и h, то, очевидно, площадь данных треугольников будет равна ровно половине площади прямоугольника (Sпр = bh) Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними (Формула 2 ) (см. пример решения задачи с использованием этой формулы ниже). Несмотря на то, что она кажется непохожей на предыдущую, она легко может быть в нее преобразована. Если из угла B опустить высоту на сторону b, окажется, что произведение стороны a на синус угла γ по свойствам синуса в прямоугольном треугольнике равно проведенной нами высоте треугольника, что и даст нам предыдущую формулу Площадь произвольного треугольника может быть найдена через произведение половины радиуса вписанной в него окружности на сумму длин всех его сторон (Формула 3), проще говоря, нужно полупериметр треугольника умножить на радиус вписанной окружности (так легче запомнить) Площадь произвольного треугольника можно найти, разделив произведение всех его сторон на 4 радиуса описанной вокруг него окружности (Формула 4) Формула 5 представляет собой нахождение площади треугольника через длины его сторон и его полупериметр (половину суммы всех его сторон) Формула Герона (6) — это представление той же самой формулы без использования понятия полупериметра, только через длины сторон Площадь произвольного треугольника равна произведению квадрата стороны треугольника на синусы прилежащих к этой стороне углов деленного на двойной синус противолежащего этой стороне угла (Формула 7) Площадь произвольного треугольника можно найти как произведение двух квадратов описанной вокруг него окружности на синусы каждого из его углов. (Формула 8) Если известна длина одной стороны и величины двух прилежащих к ней углов, то площадь треугольника может быть найдена как квадрат этой стороны, деленный на двойную сумму котангенсов этих углов (Формула 9) Если известна только длина каждой из высот треугольника (Формула 10), то площадь такого треугольника обратно пропорциональна длинам этих высот, как по Формуле Герона Формула 11 позволяет вычислить площадь треугольника по координатам его вершин, которые заданы в виде значений (x;y) для каждой из вершин

Обратите внимание, что получившееся значение необходимо взять по модулю, так как координаты отдельных (или даже всех) вершин могут находиться в области отрицательных значений

См. также площадь равнобедренного треугольника.

Примечание. Далее приведены примеры решения задач по геометрии на нахождение площади треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, похожей на которую здесь нет — пишите об этом в форуме. В решениях вместо символа «квадратный корень» может применяться функция sqrt(), в которой sqrt — символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Иногда для простых подкоренных выражений может использоваться символ √

Как подготовиться к расчетам

Проведение подготовительных манипуляций заключается в подготовке места для измерений. Также необходимо подготовить инструмент и специальные принадлежности. Лучше если комната будет свободной от посторонних предметов. Часто такое случается при замерах в новом доме или во время проведения ремонта. Замеры длины сторон производятся вдоль стенок. При этом нужно освободить хотя-бы участки, для свободного проведения рулеткой. Результаты замеров можно сразу же перенести на схему. Обязательно следует проверить прямоугольности комнаты. Для этого выполняется замер диагональных линий.

Особенности замеров с учетом линий коммуникаций

Кроме рулетки вам может понадобиться специальная линейка для проверки прямых линий. Это может быть строительный уровень или правило. Иногда необходим строительный угольник больших размеров. Как вариант, самодельный циркуль. Можно использовать кусок шнура, привязанный к острому штырю. Для пола можно использовать специальные принадлежности для замеров. Для этого подойдет маркер, мел или скотч. Замеры выполняйте несколько раз. Это позволит избежать ошибки. Следите, чтобы лента для проведения замеров не провисала. Помните, что на многие измерительные инструменты наносится две шкалы. Нельзя путать метрическую систему и дюймовую.

Лазерное приспособление заметно облегчает работу

Перед замерами набросайте простой план – схему на бумаге. Это позволит правильно распределить все замеры. Стоит учитывать, что многие формулы расчетов очень сложные. В этом случае посчитать в столбик не получится. Чтобы посчитать без ошибок, можно воспользоваться программой Excel.

На схеме показаны все необходимые замеры для правильных расчетов

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики. Лето  —  прекрасное время, чтобы заниматься ей с удовольствием, в комфортном темпе, без контрольных и оценок за четверть, валяясь дома на полу или за городом на травке.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно  —  от дробей до синусов —  и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом.

Классические методы расчета

Отличие в разных формулах заключается в исходных данных. В них используются различные элементы треугольника. В задачах не всегда есть возможность выбирать вводные величины. Базовая школьная формула основаны на знании длины одной из сторон (a):

  • из противоположного угла на известное основание опускают высоту (h);
  • измеряют ее длину;
  • произведение двух известных величин делят надвое и получают площадь треугольника.

На заметку! Запись этой формулы:

Также в школьной программе часто используется способ расчета площади произвольного (в т. ч. равнобедренного) треугольника на основании известного угла (α) и длины примыкающих к нему сторон (a и b):

  1. Вычислите синус угла.
  2. Перемножьте между собой длины сторон.
  3. Разделите величину надвое.
  4. Умножьте друг на друга данные из пунктов 1 и 2. Результат готов.

На заметку! Запись данной формулы: 

В примере с прямоугольным треугольником посчитать его площадь можно в три нажатия на калькуляторе. Достаточно перемножить значения его катетов (прилегающих к прямому углу сторон) и разделить произведение надвое.

Математика – 3 класс. Прямоугольники

Что такое прямоугольник и квадрат

Четырёхугольники, в том числе прямоугольники и квадраты, обозначаются 4 буквами – вершинами. Для обозначения вершин используют латинские буквы: A, B, C, D … Пример.

Что такое периметр прямоугольника? Формула расчета периметра

Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон прямоугольника или сумма длины и ширины, умноженная на 2. Периметр обозначается латинской буквой P. Так как периметр – это длина всех сторон прямоугольника, то он периметр записывается в единицах длины: мм, см, м, дм, км.

Например, периметр прямоугольника АВСD обозначается как PABCD, где А, В, С, D – это вершины прямоугольника.

PABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)

Определим PABCD.

Пример:

Задан прямоугольник ABCD со сторонами: AB=СD=5 см и AD=BC=3 см. Решение:

Нарисуем прямоугольник ABCD с исходными данными.

PABCD = 2 * (AB + BС)

Подставим в формулу наши данные:

PABCD = 2 * (5 см + 3 см) = 2 * 8 см = 16 см

Ответ: PABCD = 16 см.

Формула расчета периметра квадрата

У нас есть формула для определения периметра прямоугольника.

PABCD = 2 * (AB + BC)

Применим её для определения периметра квадрата. Учитывая, что все стороны квадрата равны, получаем:

PABCD= 4 * AB

Пример:

Задан квадрат ABCD со стороной, равной 6 см. Определим периметр квадрата. Решение:

Нарисуем квадрат ABCD с исходными данными.

PABCD = 4 * AB

Подставим в формулу наши данные:

PABCD = 4 * 6 см = 24 см


Ответ: PABCD = 24 см.

Задачи на нахождение периметра прямоугольника

Измерь ширину и длину прямоугольников. Определи их периметр.

Нарисуй прямоугольник ABCD со сторонами 4 см и 6 см. Определи периметр прямоугольника. 3. Нарисуй квадрат СEOM со стороной 5 см. Определи периметр квадрата.

Где используется расчет периметра прямоугольника?

Задан участок земли, его нужно обнести забором. Какой длины будет забор?

В данной задаче необходимо точно рассчитать периметр участка, чтобы не купить лишний материал для постройки забора. 2. Родители решили сделать ремонт в детской комнате. Необходимо знать периметр комнаты и её площадь, чтобы правильно рассчитать количество обоев. Определи длину и ширину комнаты, в которой ты живешь. Определи периметр своей комнаты.

Что такое площадь прямоугольника?

Площадь – это числовая характеристика фигуры. Площадь измеряется квадратными единицами длины: см2, м2, дм2 и др. (сантиметр в квадрате, метр в квадрате, дециметр в квадрате и т.д.). В вычислениях обозначается латинской буквой S.

Для определения площади прямоугольника необходимо длину прямоугольника умножить на его ширину.

  1. S AKMO = AK * KM
  2. S AKMO= AK * KM = 7 см * 2 см = 14 см2.

Пример:

Чему равна площадь прямоугольника AKMO, если его стороны равны 7 см и 2 см?

Ответ: 14 см2.

Формула вычисления площади квадрата

Площадь квадрата можно определить, умножив сторону саму на себя. Пример:

В данном примере площадь квадрата вычисляется умножением стороны АB на ширину BC, но так как они равны, получается умножение стороны AB на AB.

  • S AВСО = AB * BC = AB * AB
  • S AKMО = AK * KM = 8 см * 8 см = 64 см2

Пример:

Определи площадь квадрата AKMO со стороной 8 см.

Ответ: 64 см2.

Задачи на нахождение площади прямоугольника и квадрата:

  1. Задан прямоугольник со сторонами 20 мм и 60 мм. Вычисли его площадь. Запиши ответ в квадратных сантиметрах.
  2. Был куплен дачный участок размером 20 м на 30 м. Определи площадь дачного участка, ответ запиши в квадратных сантиметрах.

Как высчитать площадь треугольника крыши

Правильность проведения расчетов при планировании нового строительства или проведении ремонта позволяют существенно сэкономить на основных и расходных материалах. Кровельный пирог – один из ключевых узлов дома.

В процессе его проектирования необходимо знать, как рассчитать площадь крыши, уметь вычислить площадь каждого ее элемента. Для этого существуют специальные компьютерные программы.

Но, в отличие от машинного, расчет «вручную9raquo; дает более точный результат, поскольку он позволяет учитывать нюансы дальнейшей укладки кровельного материала.

Выполнить расчет площади кровли довольно просто, если она имеет один, два или четыре склона. Чем больше элементов – тем сложнее, тем больше нужно делать замеров и математических действий.

Как замерить скаты и рассчитать площадь крыши ↑

Когда под рукой нет плана крыши с указанием точных размеров, то их снимают самостоятельно. Вам понадобятся рулетка, калькулятор, лестницы и другие приспособления, необходимые при работах на высоте.

Рассмотрим более подробно, как рассчитать площадь крыши для некоторых видов.

Это самый простой вариант скатных крыш. Его единственный скат имеет форму прямоугольника или квадрата. Для его расчета не нужен подробный план строения и крыши. К тому же снимать размеры ската (длина и ширина) в его случае достаточно просто. За длину ската принимают расстояние от кромки карниза до линии конька.

Для подсчета площади воспользуемся формулой для прямоугольника:

S=K x L, где K– длина, L– ширина.

Замерить скат можно и, не поднимаясь на кровлю – достаточно измерить длину и ширину дома с учетом величины всех свесов:

  • ширина ската будет равна полученной длине здания;
  • длину – вычисляют по теореме Пифагора, приняв в качестве катетов размеры высоту крыши и проекцию ската.

Такая конструкция также не представляет сложности для вычисления площади. Практически она состоит из двух односкатных и ее расчет сводится к предыдущему варианту. Остается только сложить полученные результаты.

Относительно сложен расчет площадей кровель нестандартной конфигурации. Хотя формулы выбирают в соответствии с конкретной конструкцией, однако, есть несколько общих правил, которых помогут правильно рассчитать искомую площадь:

плоскость проекции кровли разбивают на отдельные простейшие геометрические фигуры: квадраты, треугольники и т. д., площадь которых вычисляют по известным формулам. Например, полувальмовую разбивают на две трапеции, два прямоугольника и четыре треугольника, проекция ломаной мансардной – представляет собой квадрат или прямоугольник, а многощипцовая – отличается большим числом составляющих фигур.

в расчеты необходимо включать все дополнительные элементы крыши, к примеру, люки, дымоходные трубы и другое. В противном случае достаточно велика вероятность, что купленного материала для кровли может не хватить.

Основные сложности, как правило, связаны со снятием размеров. Чем сложнее конструкция, тем больше количество замеров, и сложнее их сделать. В отличие от односкатной, размеры сложной крыши обычно снимают на высоте.

Расчеты выполняют по каждому скату в отдельности, после чего все результаты складывают.

Изображения, опубликованные на нашем сайте, взяты из открытых источников. Если вы автор изображения, то свяжитесь с нами через форму контактов, и мы постараемся быстро решить этот вопрос.

Как высчитать метр квадратный: единицы изменения

При расчете площадей потолка, пола и стен, необходимо выяснить, как рассчитать квадратный метр. Для вычислений необходимо выбрать мерную ленту или рулетку с нанесением делений в сантиметрах или метрах. Такое приспособление применяются для площади в квадратных метрах.

Если величина получается больше метра, то используются не только метры, но и сантиметры.

Чтобы правильно провести расчеты можно воспользоваться калькулятором квадратных метров. При необходимости померить всю длину, можно делать это поэтапно. Например, сделать отметку там, где закончилась рулетка, а затем протянуть ее еще раз.

В таблице представлены распространенные единицы измерения площади

Ширина меряется также рулеткой. При этом ее располагают под углом в 90 градусов к длине. Если длина меньше метра, то необходимо округлить в сторону ближайшего сантиметра.


При расчете квадратных метров калькулятором, не всегда получается выполнить измерения в метрах. Показатель отображается, как в метрах, так и в сантиметрах. При этом 1 см равняется 0,01 метра. Например, 98 см равно 0,98 м. То есть можно записать 2,98 м. Чтобы получить площадь нужно длину умножить на ширину. Округлять значение можно в большую сторону.

Стоит отметить и другие единицы измерения:

  • в 1 квадратном фунте – 0,093 квадратных метра;
  • в ярде – 0,84 кв. м.

Умение правильно посчитать площадь необходимо в таких случаях:

требуется точный расчет материалов для ремонта; наемные мастера часто проводят расчеты оплаты за квадратный метр, что необходимо перепроверять для исключения обмана; необходимы знания расчетов при выборе площади

Часто оплата коммунальных услуг вычисляется, исходя из размеров комнаты; чтобы определить нормативы освещенности также нужно знать габариты помещения; зная площадь, всегда можно посчитать объем, что очень важно при установке отопительных, вентиляционных и климатических устройств.. Значения для погонного метра

Значения для погонного метра

В ролике дается простое объяснение необходимых значений:

Watch this video on YouTube

площадь через стороны треугольника

Сторона а треугольника

Сторона b треугольника

Сторона а треугольника

Площадь треугольника выраженная через стороны известна очень давно —  она фигурирует в книгах, датированных 1 веком до нашей эры. 

Эту формулу можно выразить по разному, благо формул расчета параметров треугольника достаточно.

Но если попытаться мыслить категориями времен до нашей эры, когда не было формул в современном преставлении, не было переменных и знаков корня, то единственной аксимомой, на базе которого, Герон, создал свою формулу, была теорема Пифагора. А так как в те времена, еще не знали иррациональных чисел, да к отрицательным  у ученых было достаточно скептическое видение, то для размышлений использовались целые числа. 

Самого доказательства здесь не будет, предположив только что Герон, дополнял произвольный пифагоровый треугольник до прямоугольника высчитывал его площадь, и делил на два. 

Примеры из реальной жизни

Керамическая плитка

Допустим, вы хотите выполнить облицовку стен кухни керамической плиткой, которая имеет форму прямоугольного треугольника. Для того чтобы определить расход плитки вы должны узнать площадь одного элемента облицовки и общую площадь обрабатываемой поверхности. Пусть вам необходимо обработать 7 квадратных метров. Длина катетов одного элемента составляет по 19 см, тогда площадь плитки будет равна:

S = 180,5

Это означает, что площадь одного элемента составляет 24,5 квадратных сантиметра или 0,01805 квадратных метра. Зная эти параметры, вы можете подсчитать, что для отделки 7 квадратных метров стены вам понадобится 7/0,01805 = 387 элементов облицовочной плитки.

Школьная задача

Пусть в школьной задаче по геометрии требуется найти площадь прямоугольного треугольника, зная только то, что сторона одного катета равна 5 см, а величина противолежащего угла составляет 30 градусов. Наш онлайн-калькулятор сопровождается иллюстрацией, на которой указаны стороны и углы прямоугольного треугольника. Если сторона a = 5 см, то ее противолежащий угол — это угол альфа, равный 30 градусов. Введите эти данные в форму калькулятора и получите результат:

S= 21,65

Таким образом, калькулятор не только вычисляет площадь заданного треугольника, но и определяет длину прилежащего катета и гипотенузы, а также величину второго угла.

Задача. Найти площадь по двум сторонам и углу между ними

Стороны треугольника равны 5 и 6 см. Угол между ними составляет 60 градусов. Найдите площадь треугольника.

Решение.

Для решения этой задачи используем формулу номер два из теоретической части урока. Площадь треугольника может быть найдена через длины двух сторон и синус угла межу ними и будет равна S=1/2 ab sin γ

Поскольку все необходимые данные для решения (согласно формуле) у нас имеются, нам остается только подставить значения из условия задачи в формулу: S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60   

В таблице значений тригонометрических функций найдем и подставим в выражение значение синуса 60 градусов. Он будет равен корню из трех на два.  S = 15 √3 / 2

Ответ: 7,5 √3 (в зависимости от требований преподавателя, вероятно, можно оставить и 15 √3/2)

Площадь треугольника

Прямоугольный треугольник легко представить как половину прямоугольника. Если площадь прямоугольника равна произведению длин сторон, то для определения площади треугольника необходимо это произведение разделить на 2.

Допустим, RP = a, TP = b;

SRPT=(ab)/2. Если треугольник не имеет прямого угла, можно построить два прямоугольника, как показано на рисунке. Допустим, MA=BD=NC = h, AC = a.

SABC=SABD+SCBD=h⋅AD/2+h⋅DC/2=h⋅AC/2=h⋅a/2. Как видно, достаточно в треугольнике от одной вершины провести отрезок под прямым углом к противолежащей стороне и использовать длины отрезка для определения площади треугольника.

Отрезок называют высотой треугольника.

Метод Герона

Античный математик Герон Александрийский предложил свой способ получения квадратуры треугольника. Для вычислений достаточно знать длину трех его сторон, хотя сама методика достаточно сложна и не поддастся пятиклассникам:

  1. Определите периметр: сложите отрезки сторон: a+b+c. Разделите число надвое. Полученные данные называются полупериметр (p) и имеют ключевое значение в геометрическом уравнении Герона.
  2. Проведите вычисление по формуле: p (p — a) (p — b) (p — c). Т.е. сначала вычтите по отдельности длину каждой из сторон из значения полупериметра, а затем перемножьте между собой три полученных числа и сам полупериметр.
  3. Извлеките корень из итогового значения. Искомая величина найдена.

Например, грани длиною 3, 4 и 5 см образуют полупериметр 6 см. После умножения согласно формуле получается значение 36. Корень из 36 равняется 6. Значит, 6 см2 — площадь этого треугольника. Для равносторонней фигуры расчет еще проще.

Вывод формул для площади равностороннего треугольника

      Утверждение 7.

  1. Если a – сторона равностороннего треугольника, то его площадь

Если h – равностороннего треугольника, то его площадь

Если r – радиус , то его площадь

Если R – радиус около равностороннего треугольника окружности, то его площадь

      Доказательство.

  1. Рассмотрим рисунок 7.

Рис. 7

В силу утверждения 2

Рассмотрим рисунок 8.

Рис. 8

Поскольку

то

Рассмотрим рисунок 9.

Рис. 9

Поскольку у равностороннего треугольника , то .  Следовательно,

Рассмотрим рисунок 10.

Рис. 10

Поскольку у равностороннего треугольника центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство Следовательно,

      Доказательство утверждения 7 завершено.


С этим читают